Rezolvați 2n^2-5n-4=6

$$2 n ^ { 2 } - 5 n - 4 = 6$$

Rezolvați pentru n

$$n = \frac{\sqrt{105} + 5}{4} \approx 3,811737691$$

$$n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}\approx -1,311737691$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2n^{2}-5n-4=6$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$2n^{2}-5n-4-6=6-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2n^{2}-5n-4-6=0$$

Scădeți 6 din -4.

$$2n^{2}-5n-10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -5 și c cu -10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -10.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+80}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 80.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$n=\frac{5±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$n=\frac{5±\sqrt{105}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{5±\sqrt{105}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu \sqrt{105}.

$$n=\frac{\sqrt{105}+5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{5±\sqrt{105}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{105} din 5.

$$n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{\sqrt{105}+5}{4} n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2n^{2}-5n-4=6$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$2n^{2}-5n-4-\left(-4\right)=6-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2n^{2}-5n=6-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 6.

$$2n^{2}-5n=10$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2n^{2}-5n}{2}=\frac{10}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n=5$$

Împărțiți -\frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}=5+\frac{25}{16}$$

Adunați 5 cu \frac{25}{16}.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}=\frac{105}{16}$$

Factor n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} n-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Adunați \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{\sqrt{105}+5}{4} n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}$$