Rezolvați 2n^2+28n+96

$$2 n ^ { 2 } + 28 n + 96$$

Descompunere în factori

$$2\left(n+6\right)\left(n+8\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 2.

$$2\left(n^{2}+14n+48\right)$$

Să luăm n^{2}+14n+48. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca n^{2}+an+bn+48. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=1\times 48=48$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 48.

$$1,48 2,24 3,16 4,12 6,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+48=49 2+24=26 3+16=19 4+12=16 6+8=14$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=6 b=8$$

Rescrieți n^{2}+14n+48 ca \left(n^{2}+6n\right)+\left(8n+48\right).

$$\left(n^{2}+6n\right)+\left(8n+48\right)$$

Factor n în primul și 8 în al doilea grup.

$$n\left(n+6\right)+8\left(n+6\right)$$

Scoateți termenul comun n+6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n+6\right)\left(n+8\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$2\left(n+6\right)\left(n+8\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2n^{2}+28n+96=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 2\times 96}}{2\times 2}$$

Ridicați 28 la pătrat.

$$n=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 2\times 96}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$n=\frac{-28±\sqrt{784-8\times 96}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 96.

$$n=\frac{-28±\sqrt{784-768}}{2\times 2}$$

Adunați 784 cu -768.

$$n=\frac{-28±\sqrt{16}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$n=\frac{-28±4}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$n=\frac{-28±4}{4}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-28±4}{4} atunci când ± este plus. Adunați -28 cu 4.

$$n=-\frac{24}{4}$$

Împărțiți -24 la 4.

$$n=-6$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-28±4}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -28.

$$n=-\frac{32}{4}$$

Împărțiți -32 la 4.

$$n=-8$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -6 și x_{2} cu -8.

$$2n^{2}+28n+96=2\left(n-\left(-6\right)\right)\left(n-\left(-8\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$2n^{2}+28n+96=2\left(n+6\right)\left(n+8\right)$$

Evaluați

$$2\left(n+6\right)\left(n+8\right)$$