Rezolvați 2n^2+15n+25

$$2 n ^ { 2 } + 15 n + 25$$

Descompunere în factori

$$\left(n+5\right)\left(2n+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2n^{2}+an+bn+25. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=15 ab=2\times 25=50$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

Soluția este perechea care dă suma de 15.

$$a=5 b=10$$

Rescrieți 2n^{2}+15n+25 ca \left(2n^{2}+5n\right)+\left(10n+25\right).

$$\left(2n^{2}+5n\right)+\left(10n+25\right)$$

Factor n în primul și 5 în al doilea grup.

$$n\left(2n+5\right)+5\left(2n+5\right)$$

Scoateți termenul comun 2n+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2n+5\right)\left(n+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2n^{2}+15n+25=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Ridicați 15 la pătrat.

$$n=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$n=\frac{-15±\sqrt{225-8\times 25}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 25.

$$n=\frac{-15±\sqrt{225-200}}{2\times 2}$$

Adunați 225 cu -200.

$$n=\frac{-15±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$n=\frac{-15±5}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$n=\frac{-15±5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-15±5}{4} atunci când ± este plus. Adunați -15 cu 5.

$$n=-\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=-\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-15±5}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -15.

$$n=-\frac{20}{4}$$

Împărțiți -20 la 4.

$$n=-5$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{5}{2} și x_{2} cu -5.

$$2n^{2}+15n+25=2\left(n-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)\left(n-\left(-5\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$2n^{2}+15n+25=2\left(n+\frac{5}{2}\right)\left(n+5\right)$$

Adunați \frac{5}{2} cu n găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$2n^{2}+15n+25=2\times \frac{2n+5}{2}\left(n+5\right)$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 2 și 2.

$$2n^{2}+15n+25=\left(2n+5\right)\left(n+5\right)$$

Evaluați

$$\left(n+5\right)\left(2n+5\right)$$