Rezolvați 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Rezolvați pentru k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 7 la ambele părți.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 2k^{2}+ak+bk+7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 14 de produs.

$$1,14 2,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+14=15 2+7=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=2 b=7$$

Rescrieți 2k^{2}+9k+7 ca \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Scoateți scoateți factorul 2k din primul și 7 din cel de-al doilea grup.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Scoateți termenul comun k+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați k+1=0 și 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Scădeți -7 din 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 9 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Adunați 81 cu -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-9±5}{4} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Împărțiți -4 la 4.

$$k=-1$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-9±5}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Împărțiți \frac{9}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Adunați -\frac{7}{2} cu \frac{81}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Factorul k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplificați.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Scădeți \frac{9}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$