Rezolvați 2j^2+11j+12

$$2 j ^ { 2 } + 11 j + 12$$

Descompunere în factori

$$\left(j+4\right)\left(2j+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2j^{2}+aj+bj+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=2\times 12=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=3 b=8$$

Rescrieți 2j^{2}+11j+12 ca \left(2j^{2}+3j\right)+\left(8j+12\right).

$$\left(2j^{2}+3j\right)+\left(8j+12\right)$$

Factor j în primul și 4 în al doilea grup.

$$j\left(2j+3\right)+4\left(2j+3\right)$$

Scoateți termenul comun 2j+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2j+3\right)\left(j+4\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2j^{2}+11j+12=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$j=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$j=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$j=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 12}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 12.

$$j=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2\times 2}$$

Adunați 121 cu -96.

$$j=\frac{-11±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$j=\frac{-11±5}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$j=\frac{-11±5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația j=\frac{-11±5}{4} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 5.

$$j=-\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$j=-\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația j=\frac{-11±5}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -11.

$$j=-\frac{16}{4}$$

Împărțiți -16 la 4.

$$j=-4$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{3}{2} și x_{2} cu -4.

$$2j^{2}+11j+12=2\left(j-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)\left(j-\left(-4\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$2j^{2}+11j+12=2\left(j+\frac{3}{2}\right)\left(j+4\right)$$

Adunați \frac{3}{2} cu j găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$2j^{2}+11j+12=2\times \frac{2j+3}{2}\left(j+4\right)$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 2 și 2.

$$2j^{2}+11j+12=\left(2j+3\right)\left(j+4\right)$$

Evaluați

$$\left(j+4\right)\left(2j+3\right)$$