Rezolvați 2b^2+2b-12=0

$$2 b ^ { 2 } + 2 b - 12 = 0$$

Rezolvați pentru b

$$b=-3$$

$$b=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$b^{2}+b-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca b^{2}+ab+bb-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-2 b=3$$

Rescrieți b^{2}+b-6 ca \left(b^{2}-2b\right)+\left(3b-6\right).

$$\left(b^{2}-2b\right)+\left(3b-6\right)$$

Factor b în primul și 3 în al doilea grup.

$$b\left(b-2\right)+3\left(b-2\right)$$

Scoateți termenul comun b-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(b-2\right)\left(b+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați b-2=0 și b+3=0.

$$b=2 b=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2b^{2}+2b-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 2 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$b=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$b=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -12.

$$b=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu 96.

$$b=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$b=\frac{-2±10}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$b=\frac{-2±10}{4}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{-2±10}{4} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 10.

$$b=\frac{8}{4}$$

Împărțiți 8 la 4.

$$b=2$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{-2±10}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -2.

$$b=-\frac{12}{4}$$

Împărțiți -12 la 4.

$$b=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$b=2 b=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2b^{2}+2b-12=0$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$2b^{2}+2b-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Scăderea -12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2b^{2}+2b=-\left(-12\right)$$

Scădeți -12 din 0.

$$2b^{2}+2b=12$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2b^{2}+2b}{2}=\frac{12}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$b^{2}+\frac{2}{2}b=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$b^{2}+b=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$b^{2}+b=6$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$b^{2}+b+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$b^{2}+b+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Adunați 6 cu \frac{1}{4}.

$$b^{2}+b+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor b^{2}+b+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(b+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$b+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} b+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$b=2 b=-3$$