Rezolvați 2a^2-21a+48=0

$$2 a ^ { 2 } - 21 a + 48 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a = \frac{\sqrt{57} + 21}{4} \approx 7,137458609$$

$$a = \frac{21 - \sqrt{57}}{4} \approx 3,362541391$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2a^{2}-21a+48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -21 și c cu 48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

Ridicați -21 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-8\times 48}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 48.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-384}}{2\times 2}$$

Adunați 441 cu -384.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Opusul lui -21 este 21.

$$a=\frac{21±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$a=\frac{21±\sqrt{57}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{21±\sqrt{57}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 21 cu \sqrt{57}.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{21±\sqrt{57}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{57} din 21.

$$a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4} a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2a^{2}-21a+48=0$$

Scădeți 48 din ambele părți ale ecuației.

$$2a^{2}-21a+48-48=-48$$

Scăderea 48 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2a^{2}-21a=-48$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2a^{2}-21a}{2}=-\frac{48}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a=-\frac{48}{2}$$

Împărțiți -48 la 2.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a=-24$$

Împărțiți -\frac{21}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{21}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{21}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{21}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}=-24+\frac{441}{16}$$

Adunați -24 cu \frac{441}{16}.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}=\frac{57}{16}$$

Factor a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{57}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{16}}$$

Simplificați.

$$a-\frac{21}{4}=\frac{\sqrt{57}}{4} a-\frac{21}{4}=-\frac{\sqrt{57}}{4}$$

Adunați \frac{21}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4} a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$