Rezolvați 2a^2-12a+18=0

$$2 a ^ { 2 } - 12 a + 18 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$a^{2}-6a+9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca a^{2}+aa+ba+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-3 b=-3$$

Rescrieți a^{2}-6a+9 ca \left(a^{2}-3a\right)+\left(-3a+9\right).

$$\left(a^{2}-3a\right)+\left(-3a+9\right)$$

Factor a în primul și -3 în al doilea grup.

$$a\left(a-3\right)-3\left(a-3\right)$$

Scoateți termenul comun a-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(a-3\right)\left(a-3\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(a-3\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați a-3=0.

$$a=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2a^{2}-12a+18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -12 și c cu 18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\times 18}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 18.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 2}$$

Adunați 144 cu -144.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$a=-\frac{-12}{2\times 2}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$a=\frac{12}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$a=\frac{12}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$a=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2a^{2}-12a+18=0$$

Scădeți 18 din ambele părți ale ecuației.

$$2a^{2}-12a+18-18=-18$$

Scăderea 18 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2a^{2}-12a=-18$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2a^{2}-12a}{2}=-\frac{18}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$a^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)a=-\frac{18}{2}$$

Împărțiți -12 la 2.

$$a^{2}-6a=-\frac{18}{2}$$

Împărțiți -18 la 2.

$$a^{2}-6a=-9$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-6a+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$a^{2}-6a+9=-9+9$$

Adunați -9 cu 9.

$$a^{2}-6a+9=0$$

Factor a^{2}-6a+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-3\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$a-3=0 a-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$a=3 a=3$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$a=3$$