Rezolvați 2y^2-11y+14

$$2 { y }^{ 2 } -11y+14$$

Descompunere în factori

$$\left(y-2\right)\left(2y-7\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2y^{2}+ay+by+14. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=2\times 14=28$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-7 b=-4$$

Rescrieți 2y^{2}-11y+14 ca \left(2y^{2}-7y\right)+\left(-4y+14\right).

$$\left(2y^{2}-7y\right)+\left(-4y+14\right)$$

Factor y în primul și -2 în al doilea grup.

$$y\left(2y-7\right)-2\left(2y-7\right)$$

Scoateți termenul comun 2y-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2y-7\right)\left(y-2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2y^{2}-11y+14=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 14}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 14.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2\times 2}$$

Adunați 121 cu -112.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±3}{2\times 2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$y=\frac{11±3}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=\frac{11±3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{11±3}{4} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 3.

$$y=\frac{14}{4}$$

Reduceți fracția \frac{14}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=\frac{7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{11±3}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din 11.

$$y=\frac{8}{4}$$

Împărțiți 8 la 4.

$$y=2$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{7}{2} și x_{2} cu 2.

$$2y^{2}-11y+14=2\left(y-\frac{7}{2}\right)\left(y-2\right)$$

Scădeți \frac{7}{2} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$2y^{2}-11y+14=2\times \frac{2y-7}{2}\left(y-2\right)$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 2 și 2.

$$2y^{2}-11y+14=\left(2y-7\right)\left(y-2\right)$$

Evaluați

$$\left(y-2\right)\left(2y-7\right)$$