Rezolvați 2x^2-7x-15

$$2 { x }^{ 2 } -7x-15$$

Descompunere în factori

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-10 b=3$$

Rescrieți 2x^{2}-7x-15 ca \left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-7x-15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Adunați 49 cu 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 2}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{7±13}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±13}{4} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 13.

$$x=\frac{20}{4}$$

Împărțiți 20 la 4.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±13}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 7.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 5 și x_{2} cu -\frac{3}{2}.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Adunați \frac{3}{2} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 2 și 2.

$$2x^{2}-7x-15=\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Evaluați

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$