Rezolvați 2x^2-5x+17=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1,25+2,633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1,25-2,633913438i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -5 și c cu 17 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu -136.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -111.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu i\sqrt{111}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{111} din 5.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Scădeți 17 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

Scăderea 17 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-5x=-17$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați -\frac{17}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

Adunați \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$