Rezolvați 2x^2-34x+20=0

$$2 { x }^{ 2 } -34x+20=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{249} + 17}{2} \approx 16,389866919$$

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}\approx 0,610133081$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-34x+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -34 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Ridicați -34 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 20}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-160}}{2\times 2}$$

Adunați 1156 cu -160.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{996}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 996.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

Opusul lui -34 este 34.

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 34 cu 2\sqrt{249}.

$$x=\frac{2\sqrt{249}+34}{4}$$

Împărțiți 34+2\sqrt{249} la 4.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{249} din 34.

$$x=\frac{34-2\sqrt{249}}{4}$$

Împărțiți 34-2\sqrt{249} la 4.

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-34x+20=0$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-34x+20-20=-20$$

Scăderea 20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-34x=-20$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{20}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{20}{2}$$

Împărțiți -34 la 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{20}{2}$$

Împărțiți -20 la 2.

$$x^{2}-17x=-10$$

Împărțiți -17, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{17}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{17}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{17}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-10+\frac{289}{4}$$

Adunați -10 cu \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{249}{4}$$

Factorul x^{2}-17x+\frac{289}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{249}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{249}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{\sqrt{249}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{\sqrt{249}}{2}$$

Adunați \frac{17}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$