Rezolvați 2x^2-2x=1

$$2 { x }^{ 2 } -2x=1$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-2x=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-2x-1=1-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -2 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Împărțiți 2+2\sqrt{3} la 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{3} din 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Împărțiți 2-2\sqrt{3} la 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x=1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$