Rezolvați 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -14 și c cu -54 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Adunați 196 cu 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Împărțiți 14+2\sqrt{157} la 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{157} din 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Împărțiți 14-2\sqrt{157} la 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Adunați 54 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Scăderea -54 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Scădeți -54 din 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Împărțiți -14 la 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Împărțiți 54 la 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Împărțiți -7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Adunați 27 cu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Factor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Adunați \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$