Rezolvați 2x^2-14x+25=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x+25=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i=3,5+0,5i$$

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i=3,5-0,5i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -14 și c cu 25 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\times 25}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-200}}{2\times 2}$$

Adunați 196 cu -200.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2i}{2\times 2}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±2i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{14±2i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2i}{4} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 2i.

$$x=\frac{14+2i}{4}$$

Împărțiți 14+2i la 4.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2i din 14.

$$x=\frac{14-2i}{4}$$

Împărțiți 14-2i la 4.

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

Scădeți 25 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-14x+25-25=-25$$

Scăderea 25 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-14x=-25$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=-\frac{25}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=-\frac{25}{2}$$

Împărțiți -14 la 2.

$$x^{2}-7x=-\frac{25}{2}$$

Împărțiți -7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{2}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{25}{2}+\frac{49}{4}$$

Adunați -\frac{25}{2} cu \frac{49}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}i x-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Adunați \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$