Rezolvați 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-40. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -80 de produs.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-16 b=5$$

Rescrieți 2x^{2}-11x-40 ca \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Scoateți scoateți factorul 2x din primul și 5 din cel de-al doilea grup.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Scoateți termenul comun x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-8=0 și 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -11 și c cu -40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Adunați 121 cu 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±21}{4} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Împărțiți 32 la 4.

$$x=8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±21}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 21 din 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Adunați 40 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Scăderea -40 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Scădeți -40 din 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Împărțiți 40 la 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Împărțiți -\frac{11}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Adunați 20 cu \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Factorul x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Adunați \frac{11}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$