Rezolvați 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 30 din ambele părți.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Scădeți 30 din -6 pentru a obține -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-36. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-8 b=9$$

Rescrieți 2x^{2}+x-36 ca \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Factor 2x în primul și 9 în al doilea grup.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Scădeți 30 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Scăderea 30 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Scădeți 30 din -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -36 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±17}{4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Împărțiți 16 la 4.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±17}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Scăderea -6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Scădeți -6 din 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Împărțiți 36 la 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Adunați 18 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$