Rezolvați 2x^2+x-528=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-528=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16,5$$

$$x=16$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-528. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-528\right)=-1056$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1056.

$$-1,1056 -2,528 -3,352 -4,264 -6,176 -8,132 -11,96 -12,88 -16,66 -22,48 -24,44 -32,33$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+1056=1055 -2+528=526 -3+352=349 -4+264=260 -6+176=170 -8+132=124 -11+96=85 -12+88=76 -16+66=50 -22+48=26 -24+44=20 -32+33=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-32 b=33$$

Rescrieți 2x^{2}+x-528 ca \left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right).

$$\left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)$$

Factor 2x în primul și 33 în al doilea grup.

$$2x\left(x-16\right)+33\left(x-16\right)$$

Scoateți termenul comun x-16 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-16\right)\left(2x+33\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-16=0 și 2x+33=0.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -528 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -528.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4224}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 4224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{4225}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4225.

$$x=\frac{-1±65}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-1±65}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±65}{4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 65.

$$x=\frac{64}{4}$$

Împărțiți 64 la 4.

$$x=16$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±65}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 65 din -1.

$$x=-\frac{66}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-66}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{33}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Adunați 528 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+x-528-\left(-528\right)=-\left(-528\right)$$

Scăderea -528 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-528\right)$$

Scădeți -528 din 0.

$$2x^{2}+x=528$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{528}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{528}{2}$$

Împărțiți 528 la 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=264$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=264+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=264+\frac{1}{16}$$

Adunați 264 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{4225}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4225}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4225}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{65}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{65}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$