Rezolvați 2x^2+x-1=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-1=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-1 b=2$$

Rescrieți 2x^{2}+x-1 ca \left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right)$$

Scoateți factorul comun x din 2x^{2}-x.

$$x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-1=0 și x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-1±3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±3}{4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±3}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Împărțiți -4 la 4.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$2x^{2}+x=1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{1}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$