Rezolvați 2x^2+x=6

$$2 { x }^{ 2 } +x=6$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 6 din ambele părți.

$$2x^{2}+x-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-6\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-3 b=4$$

Rescrieți 2x^{2}+x-6 ca \left(2x^{2}-3x\right)+\left(4x-6\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(4x-6\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-3=0 și x+2=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+x=6$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+x-6=6-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-1±7}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±7}{4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 7.

$$x=\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±7}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -1.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Împărțiți -8 la 4.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x=6$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{6}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=3$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=3+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=3+\frac{1}{16}$$

Adunați 3 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=-2$$