Rezolvați 2x^2+x+4=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+4=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{4}\approx -0,25+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{4}\approx -0,25-1,391941091i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 4}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-32}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu -32.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-31}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -31.

$$x=\frac{-1±\sqrt{31}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{31}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{31}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{31}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{31} din -1.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+x=-4$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Împărțiți -4 la 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-2$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-2+\frac{1}{16}$$

Adunați -2 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{31}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{4}$$