Rezolvați 2x^2+7x-15

$$2 { x }^{ 2 } +7x-15$$

Descompunere în factori

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=-3 b=10$$

Rescrieți 2x^{2}+7x-15 ca \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Adunați 49 cu 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±13}{4} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±13}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Împărțiți -20 la 4.

$$x=-5$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{2} și x_{2} cu -5.

$$2x^{2}+7x-15=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$2x^{2}+7x-15=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+5\right)$$

Scădeți \frac{3}{2} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$2x^{2}+7x-15=2\times \frac{2x-3}{2}\left(x+5\right)$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 2 și 2.

$$2x^{2}+7x-15=\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Evaluați

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$