Rezolvați 2x^2+5x-817=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-817 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{43}{2} = -21\frac{1}{2} = -21,5$$

$$x=19$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-817. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=2\left(-817\right)=-1634$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1634.

$$-1,1634 -2,817 -19,86 -38,43$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+1634=1633 -2+817=815 -19+86=67 -38+43=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-38 b=43$$

Rescrieți 2x^{2}+5x-817 ca \left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right).

$$\left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right)$$

Factor 2x în primul și 43 în al doilea grup.

$$2x\left(x-19\right)+43\left(x-19\right)$$

Scoateți termenul comun x-19 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-19\right)\left(2x+43\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-19=0 și 2x+43=0.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 5 și c cu -817 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -817.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+6536}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 6536.

$$x=\frac{-5±\sqrt{6561}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 6561.

$$x=\frac{-5±81}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-5±81}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±81}{4} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 81.

$$x=\frac{76}{4}$$

Împărțiți 76 la 4.

$$x=19$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±81}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 81 din -5.

$$x=-\frac{86}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-86}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{43}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Adunați 817 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+5x-817-\left(-817\right)=-\left(-817\right)$$

Scăderea -817 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-817\right)$$

Scădeți -817 din 0.

$$2x^{2}+5x=817$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{817}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{817}{2}$$

Împărțiți \frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{817}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{817}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați \frac{817}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{6561}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{6561}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6561}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{81}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{81}{4}$$

Scădeți \frac{5}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$