Rezolvați 2x^2+5x-168=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-168. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -336.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-16 b=21$$

Rescrieți 2x^{2}+5x-168 ca \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

Factor 2x în primul și 21 în al doilea grup.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

Scoateți termenul comun x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și 2x+21=0.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 5 și c cu -168 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 1344.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1369.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±37}{4} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 37.

$$x=\frac{32}{4}$$

Împărțiți 32 la 4.

$$x=8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±37}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 37 din -5.

$$x=-\frac{42}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-42}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Adunați 168 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

Scăderea -168 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

Scădeți -168 din 0.

$$2x^{2}+5x=168$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

Împărțiți 168 la 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

Împărțiți \frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

Adunați 84 cu \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

Scădeți \frac{5}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$