Rezolvați 2x^2+5x+3=20

$$2 { x }^{ 2 } +5x+3=20$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{161} - 5}{4} \approx 1,922144385$$

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}\approx -4,422144385$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+5x+3-20=20-20$$

Scăderea 20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+5x+3-20=0$$

Scădeți 20 din 3.

$$2x^{2}+5x-17=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 5 și c cu -17 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -17.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+136}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 136.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu \sqrt{161}.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{161} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+5x+3-3=20-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+5x=20-3$$

Scădeți 3 din 20.

$$2x^{2}+5x=17$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{17}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{17}{2}$$

Împărțiți \frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{17}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați \frac{17}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{161}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{161}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{161}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{161}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{161}}{4}$$

Scădeți \frac{5}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$