Rezolvați 2x^2+3x+7=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+7=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}\approx -0,75+1,71391365i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}\approx -0,75-1,71391365i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+3x+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 3 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56}}{2\times 2}$$

Adunați 9 cu -56.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-47}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -47.

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{47} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x+7=0$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+3x+7-7=-7$$

Scăderea 7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+3x=-7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Împărțiți \frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{9}{16}$$

Adunați -\frac{7}{2} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{47}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{47}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{47}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{47}i}{4}$$

Scădeți \frac{3}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$