Rezolvați 2x^2+3x+1>0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+1 > 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+3x+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 2, b cu 3 și c cu 1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-3±1}{4}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{-3±1}{4} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-\frac{1}{2} x=-1$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)>0$$

Pentru ca produsul să fie pozitiv, x+\frac{1}{2} și x+1 trebuie să fie ambele fie negative, fie pozitive. Tratați cazul în care atât x+\frac{1}{2}, cât și x+1 sunt negative.

$$x+\frac{1}{2}<0 x+1<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x<-1.

$$x<-1$$

Tratați cazul în care atât x+\frac{1}{2}, cât și x+1 sunt pozitive.

$$x+1>0 x+\frac{1}{2}>0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x>-\frac{1}{2}.

$$x>-\frac{1}{2}$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x<-1\text{; }x>-\frac{1}{2}$$