Rezolvați 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=-3 b=16$$

Rescrieți 2x^{2}+13x-24 ca \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

Factor x în primul și 8 în al doilea grup.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-3=0 și x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 13 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Adunați 169 cu 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±19}{4} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±19}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Împărțiți -32 la 4.

$$x=-8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Adunați 24 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Scăderea -24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

Scădeți -24 din 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

Împărțiți 24 la 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Împărțiți \frac{13}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Adunați 12 cu \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Scădeți \frac{13}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$