Rezolvați 2sqrt{9x}-6=10-2sqrt{x}

$$2 \sqrt { 9 x } - 6 = 10 - 2 \sqrt { x }$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

Pașii soluției

Scădeți -6 din ambele părți ale ecuației.

$$2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(2\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Extindeți \left(2\sqrt{9x}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{9x} la puterea 2 și obțineți 9x.

$$4\times 9x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Înmulțiți 4 cu 9 pentru a obține 36.

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}.

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}+12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

Scădeți \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2} din ambele părți.

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}=12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

Scădeți 12\left(10-2\sqrt{x}\right) din ambele părți.

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Calculați \sqrt{x} la puterea 2 și obțineți x.

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4x\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Pentru a găsi opusul lui 100-40\sqrt{x}+4x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$36x-100+40\sqrt{x}-4x-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Combinați 36x cu -4x pentru a obține 32x.

$$32x-100+40\sqrt{x}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -12 cu 10-2\sqrt{x}.

$$32x-100+40\sqrt{x}-120+24\sqrt{x}=36$$

Scădeți 120 din -100 pentru a obține -220.

$$32x-220+40\sqrt{x}+24\sqrt{x}=36$$

Combinați 40\sqrt{x} cu 24\sqrt{x} pentru a obține 64\sqrt{x}.

$$32x-220+64\sqrt{x}=36$$

Adăugați 220 la ambele părți.

$$32x+64\sqrt{x}=36+220$$

Adunați 36 și 220 pentru a obține 256.

$$32x+64\sqrt{x}=256$$

Scădeți 32x din ambele părți ale ecuației.

$$64\sqrt{x}=256-32x$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(64\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Extindeți \left(64\sqrt{x}\right)^{2}.

$$64^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Calculați 64 la puterea 2 și obțineți 4096.

$$4096\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x} la puterea 2 și obțineți x.

$$4096x=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-32x+256\right)^{2}.

$$4096x=1024x^{2}-16384x+65536$$

Scădeți 1024x^{2} din ambele părți.

$$4096x-1024x^{2}=-16384x+65536$$

Adăugați 16384x la ambele părți.

$$4096x-1024x^{2}+16384x=65536$$

Combinați 4096x cu 16384x pentru a obține 20480x.

$$20480x-1024x^{2}=65536$$

Scădeți 65536 din ambele părți.

$$20480x-1024x^{2}-65536=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-1024x^{2}+20480x-65536=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1024, b cu 20480 și c cu -65536 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{20480^{2}-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Ridicați 20480 la pătrat.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1024.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400+4096\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Înmulțiți 4096 cu -65536.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-268435456}}{2\left(-1024\right)}$$

Adunați 419430400 cu -268435456.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{150994944}}{2\left(-1024\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 150994944.

$$x=\frac{-20480±12288}{2\left(-1024\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1024.

$$x=\frac{-20480±12288}{-2048}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20480±12288}{-2048} atunci când ± este plus. Adunați -20480 cu 12288.

$$x=-\frac{8192}{-2048}$$

Împărțiți -8192 la -2048.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20480±12288}{-2048} atunci când ± este minus. Scădeți 12288 din -20480.

$$x=-\frac{32768}{-2048}$$

Împărțiți -32768 la -2048.

$$x=16$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=16$$

Înlocuiți x cu 4 în ecuația 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

Simplificați. Valoarea x=4 corespunde ecuației.

$$6=6$$

Înlocuiți x cu 16 în ecuația 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 16}-6=10-2\sqrt{16}$$

Simplificați. Valoarea x=16 nu respectă ecuația.

$$18=2$$

Înlocuiți x cu 4 în ecuația 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

Simplificați. Valoarea x=4 corespunde ecuației.

$$6=6$$

Ecuația 2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6 are o soluție unică.

$$x=4$$