În matematică, derivata unei funcții este unul dintre conceptele fundamentale ale analizei matematice, împreună cu primitiva. Derivata unei funcții într-un punct semnifică rata cu care se modifică valoarea funcției atunci când se modifică argumentul. Cu alte cuvinte, derivata este o formulare matematică a noțiunii de rată de variație. Derivata este un concept foarte versatil, care poate fi privit în multe feluri. De exemplu, referindu-ne la graficul bidimensional al funcției f, derivata într-un punct x reprezintă panta tangentei la grafic în punctul x. Panta tangentei se poate aproxima printr-o secantă. Cu această interpretare geometrică, nu este surprinzător faptul că derivatele pot fi folosite pentru a descrie multe proprietăți geometrice ale graficelor de funcții, cum ar fi concavitatea și convexitatea. Trebuie menționat că nu toate funcțiile admit derivate. De exemplu, funcțiile nu au derivate în punctele în care au o tangentă verticală, în punctele de discontinuitate și în punctele de întoarcere. Calculul diferențial și cel integral au fost inventate practic simultan, dar independent unul de celălalt, de către englezul Isaac Newton, respectiv de către matematicianul german Gottfried Wilhelm von Leibniz. Se poate menționa, cu titlul aproape anecdotic, dar absolut real, că lumea științifică a momentului respectiv asista, aproape „cu sufletul la gură”, timp de câțiva ani buni, la un dialog deschis și permanent al celor doi titani, Leibnitz și Newton. Doar după ce cei doi oameni de știință au ajuns la înțelegerea abordării conceptelor și noțiunilor din ambele puncte de vedere, după ce s-au pus de acord cu noțiunile preliminare, limitele și metodologia de abordare a conceptelor etc., cei doi au putut explica și restului lumii științifice despre ce este vorba. Derivata a apărut din necesitatea de a exprima rata cu care se modifică o cantitate y ca urmare a modificării unei alte cantități x de care este legată printr-o funcție. Folosind simbolul Δ pentru a nota modificarea unei cantități, această rată se definește ca limita raportului variațiilor: displaystylefracDelta yDelta x pe măsură ce Δ x tinde spre 0 sau altfel exprimat Δ x e în vecinătatea lui 0. În notația lui Leibniz, derivata lui y în raport cu x se scrie displaystylefracdydx sugerând raportul a două diferențe numerice infinitezimale. Expresia de mai sus se poate pronunța fie "dy supra dx", fie "dy la dx". În limbajul matematic contemporan, nu se mai face referire la cantitățile care variază; derivata este considerată o operație matematică asupra funcțiilor. Definiția formală a acestei operații este dată de limita când h tinde la 0 a următoarei expresii: displaystylefracf(x+h)-f(x)h. O funcție displaystylef(x) este derivabilă într-un punct displaystylex₀ dacă: displaystyleexistslimₓᵣᵢgₕₜₐᵣᵣₒwₓ₀fracf(x)-f(x₀)x-x₀=L și displaystyleLinmathbbR Dacă displaystyleLinlbrace-infty,+inftyrbrace atunci spunem că displaystyle f are derivată dar nu este derivabilă Fie displaystylef:DsubseteqmathbbRrightarrowmathbbR,x₀inDcapDprime unde displaystyleDprime este mulțimea punctelor de acumulare. Atunci: displaystyle f derivabilă în displaystylex₀Rightarrow f continuă în displaystylex₀, dar :displaystyle f poate fi continuă și nederivabilă (conversa afirmației este falsă) Fie displaystylef,g:mathbbRrightarrowmathbbR,f și displaystyle g funcții derivabile pe domeniul lor de definiție. Atunci: displaystylefʼ+gʼ=(f+g)ʼ ; displaystyle(lambda f)ʼ=lambdafʼ,,lambdainmathbbR ; displaystyle(fg)ʼ=fʼg+fgʼ ; displaystylebiggl(fracfgbiggr)ʼ=fracfʼg-fgʼg²,quadg(x)neq0. displaystyle((gcirc f)(x))ʼ=(g(f(x))ʼ=gʼ(f(x))cdotfʼ(x) Aceste egalități se pot demonstra pornind de la definiția derivatei. Putere: displaystylef(x)=xʳ unde r este număr real, atunci: displaystylefʼ(x)=rxʳ⁻¹ oriunde derivata este bine definită. Funcția exponențială și logaritmică: displaystyled over dxaˣ=aˣln(a) displaystyled over dxlogₐx=1overxln(a) Funcții trigonometrice: displaystyled over dxsin(x)=cos(x) displaystyled over dxcos(x)=-sin(x) displaystyled over dxtan(x)=1overcos²(x) displaystyled over dxcot(x)=-1oversin²(x) displaystyled over dxsinh(x)=cosh(x) displaystyled over dxcosh(x)=sinh(x) displaystyled over dxtanh(x)=sech²(x) Funcții trigonometrice inverse: displaystyled over dxarcsin(x)=1oversqrt1-x² displaystyled over dxarccos(x)=-1oversqrt1-x² displaystyled over dxarctan(x)=1over1+x² displaystyled over dxarccot(x)=-1over1+x² displaystyled over dxarcsinh(x)=1oversqrtx²+1 displaystyled over dxarccosh(x)=1oversqrtx²-1 displaystyled over dxarctanh(x)=1over1-x² displaystyled over dxarccoth(x)=1over1-x² Valabile pentru domeniile corespunzătoare de definiție. Dacă f este o funcție, derivata funcției f în punctul x se poate nota în mai multe moduri: displaystylefʼ(x)quad pronunțat "f prim de x"; displaystylefracddxf(x) pronunțat "d pe d x din f de x"; displaystylefracdfdx pronunțat "d f pe d x" displaystyleDₓfquad pronunțat "d indice x de f". Tabel de derivate Derivată parțială Derivată funcțională Primitivă Factor integrant Teoria nodurilor Spațiu topologic Ecuație diferențială ordinară Funcție continuă Limită a unei funcții Crowell, Benjamin, Calculus Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus, University of Minnesota Hussain, Faraz, Understanding Calculus Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals Mauch, Sean, Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, arhivat din original la 15 aprilie 2006, accesat în 7 februarie 2011 Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations Strang, Gilbert, Calculus Stroyan, Keith D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus Wikibooks, Calculus Weisstein, Eric W. "Derivative." From MathWorld Differentiation Calculator Derivatives of Trigonometric functions, UBC Solved Problems in Derivatives Arhivat în 27 august 2013, la Wayback Machine.
