Rezolvați 2*(3x+4)-2*(5x+2)=3:(2x+2)+4*(4x+10)

$$2 \cdot ( 3 x + 4 ) - 2 \cdot ( 5 x + 2 ) = 3 : ( 2 x + 2 ) + 4 \cdot ( 4 x + 10 )$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}\approx -1,108452405$$

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}\approx -1,691547595$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu -1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x+1\right).

$$2\left(3x+4\right)\times 2\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$4\left(3x+4\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 3x+4.

$$\left(12x+16\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12x+16 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$12x^{2}+28x+16-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Înmulțiți -2 cu 2 pentru a obține -4.

$$12x^{2}+28x+16-4\left(5x+2\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu 5x+2.

$$12x^{2}+28x+16+\left(-20x-8\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -20x-8 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$12x^{2}+28x+16-20x^{2}-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Combinați 12x^{2} cu -20x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$-8x^{2}+28x+16-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Combinați 28x cu -28x pentru a obține 0.

$$-8x^{2}+16-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Scădeți 8 din 16 pentru a obține 8.

$$-8x^{2}+8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Înmulțiți 4 cu 2 pentru a obține 8.

$$-8x^{2}+8=3+8\left(4x+10\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8 cu 4x+10.

$$-8x^{2}+8=3+\left(32x+80\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 32x+80 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$-8x^{2}+8=3+32x^{2}+112x+80$$

Adunați 3 și 80 pentru a obține 83.

$$-8x^{2}+8=83+32x^{2}+112x$$

Scădeți 83 din ambele părți.

$$-8x^{2}+8-83=32x^{2}+112x$$

Scădeți 83 din 8 pentru a obține -75.

$$-8x^{2}-75=32x^{2}+112x$$

Scădeți 32x^{2} din ambele părți.

$$-8x^{2}-75-32x^{2}=112x$$

Combinați -8x^{2} cu -32x^{2} pentru a obține -40x^{2}.

$$-40x^{2}-75=112x$$

Scădeți 112x din ambele părți.

$$-40x^{2}-75-112x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-40x^{2}-112x-75=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -40, b cu -112 și c cu -75 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{\left(-112\right)^{2}-4\left(-40\right)\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Ridicați -112 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544-4\left(-40\right)\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -40.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544+160\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Înmulțiți 160 cu -75.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544-12000}}{2\left(-40\right)}$$

Adunați 12544 cu -12000.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{544}}{2\left(-40\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 544.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±4\sqrt{34}}{2\left(-40\right)}$$

Opusul lui -112 este 112.

$$x=\frac{112±4\sqrt{34}}{2\left(-40\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -40.

$$x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80} atunci când ± este plus. Adunați 112 cu 4\sqrt{34}.

$$x=\frac{4\sqrt{34}+112}{-80}$$

Împărțiți 112+4\sqrt{34} la -80.

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{34} din 112.

$$x=\frac{112-4\sqrt{34}}{-80}$$

Împărțiți 112-4\sqrt{34} la -80.

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5} x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu -1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x+1\right).

$$2\left(3x+4\right)\times 2\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$4\left(3x+4\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 3x+4.

$$\left(12x+16\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12x+16 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$12x^{2}+28x+16-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Înmulțiți -2 cu 2 pentru a obține -4.

$$12x^{2}+28x+16-4\left(5x+2\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu 5x+2.

$$12x^{2}+28x+16+\left(-20x-8\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -20x-8 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$12x^{2}+28x+16-20x^{2}-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Combinați 12x^{2} cu -20x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$-8x^{2}+28x+16-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Combinați 28x cu -28x pentru a obține 0.

$$-8x^{2}+16-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Scădeți 8 din 16 pentru a obține 8.

$$-8x^{2}+8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Înmulțiți 4 cu 2 pentru a obține 8.

$$-8x^{2}+8=3+8\left(4x+10\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8 cu 4x+10.

$$-8x^{2}+8=3+\left(32x+80\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 32x+80 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$-8x^{2}+8=3+32x^{2}+112x+80$$

Adunați 3 și 80 pentru a obține 83.

$$-8x^{2}+8=83+32x^{2}+112x$$

Scădeți 32x^{2} din ambele părți.

$$-8x^{2}+8-32x^{2}=83+112x$$

Combinați -8x^{2} cu -32x^{2} pentru a obține -40x^{2}.

$$-40x^{2}+8=83+112x$$

Scădeți 112x din ambele părți.

$$-40x^{2}+8-112x=83$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$-40x^{2}-112x=83-8$$

Scădeți 8 din 83 pentru a obține 75.

$$-40x^{2}-112x=75$$

Se împart ambele părți la -40.

$$\frac{-40x^{2}-112x}{-40}=\frac{75}{-40}$$

Împărțirea la -40 anulează înmulțirea cu -40.

$$x^{2}+\left(-\frac{112}{-40}\right)x=\frac{75}{-40}$$

Reduceți fracția \frac{-112}{-40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=\frac{75}{-40}$$

Reduceți fracția \frac{75}{-40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{15}{8}$$

Împărțiți \frac{14}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{15}{8}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=-\frac{15}{8}+\frac{49}{25}$$

Adunați -\frac{15}{8} cu \frac{49}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{17}{200}$$

Factor x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{17}{200}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{200}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{\sqrt{34}}{20} x+\frac{7}{5}=-\frac{\sqrt{34}}{20}$$

Scădeți \frac{7}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5} x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$