Rezolvați 2+y(1-3y)=y(y-3)

$$2 + y ( 1 - 3 y ) = y ( y - 3 )$$

Rezolvați pentru y

$$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y cu 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y cu y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Scădeți y^{2} din ambele părți.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Combinați -3y^{2} cu -y^{2} pentru a obține -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Adăugați 3y la ambele părți.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Combinați y cu 3y pentru a obține 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4y^{2}+4y+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu 4 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu 2.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 16 cu 32.

$$y=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 48.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 4\sqrt{3}.

$$y=\frac{4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Împărțiți -4+4\sqrt{3} la -8.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{3} din -4.

$$y=\frac{-4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Împărțiți -4-4\sqrt{3} la -8.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2} y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y cu 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y cu y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Scădeți y^{2} din ambele părți.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Combinați -3y^{2} cu -y^{2} pentru a obține -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Adăugați 3y la ambele părți.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Combinați y cu 3y pentru a obține 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Scădeți 2 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4y-4y^{2}=-2$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4y^{2}+4y=-2$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4y^{2}+4y}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$y^{2}+\frac{4}{-4}y=-\frac{2}{-4}$$

Împărțiți 4 la -4.

$$y^{2}-y=-\frac{2}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y^{2}-y=\frac{1}{2}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Factor y^{2}-y+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$