Rezolvați 196=2x^2+16+8x+x^2+4x

$$196 = 2 x ^ { 2 } + 16 + 8 x + x ^ { 2 } + 4 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=-10$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$196=3x^{2}+16+8x+4x$$

Combinați 8x cu 4x pentru a obține 12x.

$$196=3x^{2}+16+12x$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x^{2}+16+12x=196$$

Scădeți 196 din ambele părți.

$$3x^{2}+16+12x-196=0$$

Scădeți 196 din 16 pentru a obține -180.

$$3x^{2}-180+12x=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x^{2}-60+4x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+4x-60=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-60. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 4.

$$a=-6 b=10$$

Rescrieți x^{2}+4x-60 ca \left(x^{2}-6x\right)+\left(10x-60\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(10x-60\right)$$

Factor x în primul și 10 în al doilea grup.

$$x\left(x-6\right)+10\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(x+10\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x+10=0.

$$x=6 x=-10$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$196=3x^{2}+16+8x+4x$$

Combinați 8x cu 4x pentru a obține 12x.

$$196=3x^{2}+16+12x$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x^{2}+16+12x=196$$

Scădeți 196 din ambele părți.

$$3x^{2}+16+12x-196=0$$

Scădeți 196 din 16 pentru a obține -180.

$$3x^{2}-180+12x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+12x-180=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 12 și c cu -180 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 3\left(-180\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 3\left(-180\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-12\left(-180\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -180.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+2160}}{2\times 3}$$

Adunați 144 cu 2160.

$$x=\frac{-12±\sqrt{2304}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2304.

$$x=\frac{-12±48}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-12±48}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±48}{6} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 48.

$$x=\frac{36}{6}$$

Împărțiți 36 la 6.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±48}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 48 din -12.

$$x=-\frac{60}{6}$$

Împărțiți -60 la 6.

$$x=-10$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=-10$$

Pași pentru completarea pătratului

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$196=3x^{2}+16+8x+4x$$

Combinați 8x cu 4x pentru a obține 12x.

$$196=3x^{2}+16+12x$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x^{2}+16+12x=196$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$3x^{2}+12x=196-16$$

Scădeți 16 din 196 pentru a obține 180.

$$3x^{2}+12x=180$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+12x}{3}=\frac{180}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{12}{3}x=\frac{180}{3}$$

Împărțiți 12 la 3.

$$x^{2}+4x=\frac{180}{3}$$

Împărțiți 180 la 3.

$$x^{2}+4x=60$$

Împărțiți 4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 2. Apoi, adunați pătratul lui 2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+4x+2^{2}=60+2^{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}+4x+4=60+4$$

Adunați 60 cu 4.

$$x^{2}+4x+4=64$$

Factor x^{2}+4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=64$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Simplificați.

$$x+2=8 x+2=-8$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=-10$$