Rezolvați 180=3x+x^2

$$180 = 3 x + x ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-15$$

$$x=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x+x^{2}=180$$

Scădeți 180 din ambele părți.

$$3x+x^{2}-180=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+3x-180 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=3 ab=-180$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -180 de produs.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-12 b=15$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-12=0 și x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x+x^{2}=180$$

Scădeți 180 din ambele părți.

$$3x+x^{2}-180=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-180. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -180 de produs.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-12 b=15$$

Rescrieți x^{2}+3x-180 ca \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 15 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-12=0 și x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x+x^{2}=180$$

Scădeți 180 din ambele părți.

$$3x+x^{2}-180=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 3 și c cu -180 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -180.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

Adunați 9 cu 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 729.

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±27}{2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 27.

$$x=\frac{24}{2}$$

Împărțiți 24 la 2.

$$x=12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±27}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 27 din -3.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Împărțiți -30 la 2.

$$x=-15$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=12 x=-15$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x+x^{2}=180$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=180$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Adunați 180 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Factorul x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=-15$$