Rezolvați 18x^2-120x-42

$$18 x ^ { 2 } - 120 x - 42$$

Descompunere în factori

$$6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 6.

$$6\left(3x^{2}-20x-7\right)$$

Să luăm 3x^{2}-20x-7. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-20 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -21.

$$1,-21 3,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -20.

$$a=-21 b=1$$

Rescrieți 3x^{2}-20x-7 ca \left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right)$$

Scoateți factorul comun 3x din 3x^{2}-21x.

$$3x\left(x-7\right)+x-7$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$18x^{2}-120x-42=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{\left(-120\right)^{2}-4\times 18\left(-42\right)}}{2\times 18}$$

Ridicați -120 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{14400-4\times 18\left(-42\right)}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -4 cu 18.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{14400-72\left(-42\right)}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -72 cu -42.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{14400+3024}}{2\times 18}$$

Adunați 14400 cu 3024.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{17424}}{2\times 18}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 17424.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±132}{2\times 18}$$

Opusul lui -120 este 120.

$$x=\frac{120±132}{2\times 18}$$

Înmulțiți 2 cu 18.

$$x=\frac{120±132}{36}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{120±132}{36} atunci când ± este plus. Adunați 120 cu 132.

$$x=\frac{252}{36}$$

Împărțiți 252 la 36.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{120±132}{36} atunci când ± este minus. Scădeți 132 din 120.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{36} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 7 și x_{2} cu -\frac{1}{3}.

$$18x^{2}-120x-42=18\left(x-7\right)\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$18x^{2}-120x-42=18\left(x-7\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Adunați \frac{1}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$18x^{2}-120x-42=18\left(x-7\right)\times \frac{3x+1}{3}$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 18 și 3.

$$18x^{2}-120x-42=6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Evaluați

$$6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$