Rezolvați 18t^2-9t-5

$$18 t ^ { 2 } - 9 t - 5$$

Descompunere în factori

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 18t^{2}+at+bt-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-15 b=6$$

Rescrieți 18t^{2}-9t-5 ca \left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right).

$$\left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right)$$

Scoateți factorul comun 3t din 18t^{2}-15t.

$$3t\left(6t-5\right)+6t-5$$

Scoateți termenul comun 6t-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$18t^{2}-9t-5=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -4 cu 18.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -72 cu -5.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Adunați 81 cu 360.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 441.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$t=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Înmulțiți 2 cu 18.

$$t=\frac{9±21}{36}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{9±21}{36} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 21.

$$t=\frac{30}{36}$$

Reduceți fracția \frac{30}{36} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$t=\frac{5}{6}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{9±21}{36} atunci când ± este minus. Scădeți 21 din 9.

$$t=-\frac{12}{36}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{36} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{5}{6} și x_{2} cu -\frac{1}{3}.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Scădeți \frac{5}{6} din t găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Adunați \frac{1}{3} cu t găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\times \frac{3t+1}{3}$$

Înmulțiți \frac{6t-5}{6} cu \frac{3t+1}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{6\times 3}$$

Înmulțiți 6 cu 3.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{18}$$

Simplificați cu 18, cel mai mare factor comun din 18 și 18.

$$18t^{2}-9t-5=\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Evaluați

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$