Rezolvați 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 18x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -90 de produs.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-15 b=6$$

Rescrieți 18x^{2}-9x-5 ca \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Scoateți factorul comun 3x din 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Scoateți termenul comun 6x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 6x-5=0 și 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 18, b cu -9 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -4 cu 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -72 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Adunați 81 cu 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Înmulțiți 2 cu 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±21}{36} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Reduceți fracția \frac{30}{36} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±21}{36} atunci când ± este minus. Scădeți 21 din 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{36} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Se împart ambele părți la 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Împărțirea la 18 anulează înmulțirea cu 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Reduceți fracția \frac{-9}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{5}{18} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Factorul x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$