Rezolvați 18x^2+33x=180

$$18 { x }^{ 2 } +33x=180$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2,375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4,209124378$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$18x^{2}+33x=180$$

Scădeți 180 din ambele părți ale ecuației.

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

Scăderea 180 din el însuși are ca rezultat 0.

$$18x^{2}+33x-180=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 18, b cu 33 și c cu -180 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Ridicați 33 la pătrat.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -4 cu 18.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -72 cu -180.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

Adunați 1089 cu 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

Înmulțiți 2 cu 18.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} atunci când ± este plus. Adunați -33 cu 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Împărțiți -33+3\sqrt{1561} la 36.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{1561} din -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Împărțiți -33-3\sqrt{1561} la 36.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}+33x=180$$

Se împart ambele părți la 18.

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

Împărțirea la 18 anulează înmulțirea cu 18.

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

Reduceți fracția \frac{33}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

Împărțiți 180 la 18.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

Împărțiți \frac{11}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

Adunați 10 cu \frac{121}{144}.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

Factorul x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

Scădeți \frac{11}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$