Rezolvați 17=22t-5t^2

$$17 = 22 t - 5 t ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru t

$$t=1$$

$$t = \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} = 3,4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$22t-5t^{2}=17$$

Scădeți 17 din ambele părți.

$$22t-5t^{2}-17=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-5t^{2}+22t-17=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -5t^{2}+at+bt-17. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=22 ab=-5\left(-17\right)=85$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 85.

$$1,85 5,17$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+85=86 5+17=22$$

Soluția este perechea care dă suma de 22.

$$a=17 b=5$$

Rescrieți -5t^{2}+22t-17 ca \left(-5t^{2}+17t\right)+\left(5t-17\right).

$$\left(-5t^{2}+17t\right)+\left(5t-17\right)$$

Scoateți factorul comun -t din -5t^{2}+17t.

$$-t\left(5t-17\right)+5t-17$$

Scoateți termenul comun 5t-17 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5t-17\right)\left(-t+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5t-17=0 și -t+1=0.

$$t=\frac{17}{5} t=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$22t-5t^{2}=17$$

Scădeți 17 din ambele părți.

$$22t-5t^{2}-17=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5t^{2}+22t-17=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 22 și c cu -17 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-5\right)\left(-17\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 22 la pătrat.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-5\right)\left(-17\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484+20\left(-17\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu -17.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-340}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 484 cu -340.

$$t=\frac{-22±\sqrt{144}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$t=\frac{-22±12}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$t=\frac{-22±12}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-22±12}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -22 cu 12.

$$t=-\frac{10}{-10}$$

Împărțiți -10 la -10.

$$t=1$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-22±12}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din -22.

$$t=-\frac{34}{-10}$$

Reduceți fracția \frac{-34}{-10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$t=\frac{17}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=1 t=\frac{17}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$22t-5t^{2}=17$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5t^{2}+22t=17$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5t^{2}+22t}{-5}=\frac{17}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$t^{2}+\frac{22}{-5}t=\frac{17}{-5}$$

Împărțiți 22 la -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=\frac{17}{-5}$$

Împărțiți 17 la -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=-\frac{17}{5}$$

Împărțiți -\frac{22}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{17}{5}+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{17}{5}+\frac{121}{25}$$

Adunați -\frac{17}{5} cu \frac{121}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=\frac{36}{25}$$

Factor t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{11}{5}=\frac{6}{5} t-\frac{11}{5}=-\frac{6}{5}$$

Adunați \frac{11}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{17}{5} t=1$$