Rezolvați 16+x^2+left(4-xright)^2+16={left(4sqrt{5}right)}^2

$$16+ { x }^{ 2 } + { \left(4-x \right) }^{ 2 } +16= { \left(4 \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=2\sqrt{5}+2\approx 6,472135955$$

$$x=2-2\sqrt{5}\approx -2,472135955$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4-x\right)^{2}.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Adunați 16 și 16 pentru a obține 32.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Adunați 32 și 16 pentru a obține 48.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Extindeți \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Înmulțiți 16 cu 5 pentru a obține 80.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Scădeți 80 din ambele părți.

$$48+2x^{2}-8x-80=0$$

Scădeți 80 din 48 pentru a obține -32.

$$-32+2x^{2}-8x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-8x-32=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -8 și c cu -32 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+256}}{2\times 2}$$

Adunați 64 cu 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{320}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 320.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 8\sqrt{5}.

$$x=\frac{8\sqrt{5}+8}{4}$$

Împărțiți 8+8\sqrt{5} la 4.

$$x=2\sqrt{5}+2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{5} din 8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{5}}{4}$$

Împărțiți 8-8\sqrt{5} la 4.

$$x=2-2\sqrt{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4-x\right)^{2}.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Adunați 16 și 16 pentru a obține 32.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Adunați 32 și 16 pentru a obține 48.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Extindeți \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Înmulțiți 16 cu 5 pentru a obține 80.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Scădeți 48 din ambele părți.

$$2x^{2}-8x=80-48$$

Scădeți 48 din 80 pentru a obține 32.

$$2x^{2}-8x=32$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{32}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{32}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x^{2}-4x=\frac{32}{2}$$

Împărțiți 32 la 2.

$$x^{2}-4x=16$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=16+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=16+4$$

Adunați 16 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=20$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=20$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

Simplificați.

$$x-2=2\sqrt{5} x-2=-2\sqrt{5}$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$