Rezolvați 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu -64 și c cu 65 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Ridicați -64 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Adunați 4096 cu -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

Opusul lui -64 este 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{64±8i}{32} atunci când ± este plus. Adunați 64 cu 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Împărțiți 64+8i la 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{64±8i}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 8i din 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Împărțiți 64-8i la 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Scădeți 65 din ambele părți ale ecuației.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Scăderea 65 din el însuși are ca rezultat 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Împărțiți -64 la 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Adunați -\frac{65}{16} cu 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Simplificați.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$