Rezolvați 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 16x^{2}+ax+bx-9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=-8 b=18$$

Rescrieți 16x^{2}+10x-9 ca \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Factor 8x în primul și 9 în al doilea grup.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-1=0 și 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu 10 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Adunați 100 cu 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±26}{32} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Reduceți fracția \frac{16}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±26}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 26 din -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Reduceți fracția \frac{-36}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Reduceți fracția \frac{10}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Împărțiți \frac{5}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{16}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Adunați \frac{9}{16} cu \frac{25}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Scădeți \frac{5}{16} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$