Rezolvați 16a^2+21a+9=6a^2

$$16 a ^ { 2 } + 21 a + 9 = 6 a ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru a

$$a=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$a = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 6a^{2} din ambele părți.

$$16a^{2}+21a+9-6a^{2}=0$$

Combinați 16a^{2} cu -6a^{2} pentru a obține 10a^{2}.

$$10a^{2}+21a+9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 10a^{2}+aa+ba+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=21 ab=10\times 9=90$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Soluția este perechea care dă suma de 21.

$$a=6 b=15$$

Rescrieți 10a^{2}+21a+9 ca \left(10a^{2}+6a\right)+\left(15a+9\right).

$$\left(10a^{2}+6a\right)+\left(15a+9\right)$$

Factor 2a în primul și 3 în al doilea grup.

$$2a\left(5a+3\right)+3\left(5a+3\right)$$

Scoateți termenul comun 5a+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5a+3\right)\left(2a+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5a+3=0 și 2a+3=0.

$$a=-\frac{3}{5} a=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 6a^{2} din ambele părți.

$$16a^{2}+21a+9-6a^{2}=0$$

Combinați 16a^{2} cu -6a^{2} pentru a obține 10a^{2}.

$$10a^{2}+21a+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 10, b cu 21 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 10\times 9}}{2\times 10}$$

Ridicați 21 la pătrat.

$$a=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 10\times 9}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$a=\frac{-21±\sqrt{441-40\times 9}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu 9.

$$a=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\times 10}$$

Adunați 441 cu -360.

$$a=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$a=\frac{-21±9}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$a=\frac{-21±9}{20}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-21±9}{20} atunci când ± este plus. Adunați -21 cu 9.

$$a=-\frac{12}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$a=-\frac{3}{5}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-21±9}{20} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -21.

$$a=-\frac{30}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$a=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=-\frac{3}{5} a=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 6a^{2} din ambele părți.

$$16a^{2}+21a+9-6a^{2}=0$$

Combinați 16a^{2} cu -6a^{2} pentru a obține 10a^{2}.

$$10a^{2}+21a+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$10a^{2}+21a=-9$$

Se împart ambele părți la 10.

$$\frac{10a^{2}+21a}{10}=-\frac{9}{10}$$

Împărțirea la 10 anulează înmulțirea cu 10.

$$a^{2}+\frac{21}{10}a=-\frac{9}{10}$$

Împărțiți \frac{21}{10}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{21}{20}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{21}{20} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}+\frac{21}{10}a+\left(\frac{21}{20}\right)^{2}=-\frac{9}{10}+\left(\frac{21}{20}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{21}{20} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}+\frac{21}{10}a+\frac{441}{400}=-\frac{9}{10}+\frac{441}{400}$$

Adunați -\frac{9}{10} cu \frac{441}{400} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$a^{2}+\frac{21}{10}a+\frac{441}{400}=\frac{81}{400}$$

Factor a^{2}+\frac{21}{10}a+\frac{441}{400}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{21}{20}\right)^{2}=\frac{81}{400}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a+\frac{21}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{400}}$$

Simplificați.

$$a+\frac{21}{20}=\frac{9}{20} a+\frac{21}{20}=-\frac{9}{20}$$

Scădeți \frac{21}{20} din ambele părți ale ecuației.

$$a=-\frac{3}{5} a=-\frac{3}{2}$$