Rezolvați 15+26x+8x^2=0

$$15+26x+8 { x }^{ 2 } =0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=26 ab=8\times 15=120$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Soluția este perechea care dă suma de 26.

$$a=6 b=20$$

Rescrieți 8x^{2}+26x+15 ca \left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right)$$

Factor 2x în primul și 5 în al doilea grup.

$$2x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Scoateți termenul comun 4x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x+3=0 și 2x+5=0.

$$x=-\frac{3}{4} x=-\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu 26 și c cu 15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Ridicați 26 la pătrat.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-32\times 15}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu 15.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\times 8}$$

Adunați 676 cu -480.

$$x=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-26±14}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{-26±14}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-26±14}{16} atunci când ± este plus. Adunați -26 cu 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-26±14}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -26.

$$x=-\frac{40}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{3}{4} x=-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}+26x+15-15=-15$$

Scăderea 15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}+26x=-15$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}+26x}{8}=-\frac{15}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\frac{26}{8}x=-\frac{15}{8}$$

Reduceți fracția \frac{26}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{15}{8}$$

Împărțiți \frac{13}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{8}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{15}{8}+\frac{169}{64}$$

Adunați -\frac{15}{8} cu \frac{169}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=\frac{49}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{13}{8}=\frac{7}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{7}{8}$$

Scădeți \frac{13}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{3}{4} x=-\frac{5}{2}$$