Rezolvați 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 15y^{2}+ay+by+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 15.

$$1,15 3,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+15=16 3+5=8$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=3 b=5$$

Rescrieți 15y^{2}+8y+1 ca \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Scoateți factorul comun 3y din 15y^{2}+3y.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Scoateți termenul comun 5y+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5y+1=0 și 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 15, b cu 8 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Adunați 64 cu -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Înmulțiți 2 cu 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-8±2}{30} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-8±2}{30} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Se împart ambele părți la 15.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

Împărțirea la 15 anulează înmulțirea cu 15.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Împărțiți \frac{8}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{15}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{15} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{15} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Adunați -\frac{1}{15} cu \frac{16}{225} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Factor y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Scădeți \frac{4}{15} din ambele părți ale ecuației.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$