Rezolvați 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42,122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7,122144504$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 15, b cu -525 și c cu -4500 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Ridicați -525 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -60 cu -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Adunați 275625 cu 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 545625.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Opusul lui -525 este 525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Înmulțiți 2 cu 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} atunci când ± este plus. Adunați 525 cu 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

Împărțiți 525+75\sqrt{97} la 30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} atunci când ± este minus. Scădeți 75\sqrt{97} din 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

Împărțiți 525-75\sqrt{97} la 30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Adunați 4500 la ambele părți ale ecuației.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

Scăderea -4500 din el însuși are ca rezultat 0.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

Scădeți -4500 din 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Se împart ambele părți la 15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

Împărțirea la 15 anulează înmulțirea cu 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

Împărțiți -525 la 15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

Împărțiți 4500 la 15.

$$x^{2}-35x=300$$

Împărțiți -35, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{35}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{35}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{35}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Adunați 300 cu \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Factor x^{2}-35x+\frac{1225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Adunați \frac{35}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$