Rezolvați 15x^2-4x-4=0

$$15 x ^ { 2 } - 4 x - 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 15x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-10 b=6$$

Rescrieți 15x^{2}-4x-4 ca \left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right)$$

Factor 5x în primul și 2 în al doilea grup.

$$5x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-2=0 și 5x+2=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 15, b cu -4 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -60 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Adunați 16 cu 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 15}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 15}$$

Înmulțiți 2 cu 15.

$$x=\frac{4±16}{30}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±16}{30} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 16.

$$x=\frac{20}{30}$$

Reduceți fracția \frac{20}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±16}{30} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din 4.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$15x^{2}-4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$15x^{2}-4x=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$15x^{2}-4x=4$$

Se împart ambele părți la 15.

$$\frac{15x^{2}-4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Împărțirea la 15 anulează înmulțirea cu 15.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Împărțiți -\frac{4}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{15}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{15} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\left(-\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{15} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Adunați \frac{4}{15} cu \frac{4}{225} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x-\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Adunați \frac{2}{15} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$