Rezolvați 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 15x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 30 de produs.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=5 b=6$$

Rescrieți 15x^{2}+11x+2 ca \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Scoateți scoateți factorul 5x din primul și 2 din cel de-al doilea grup.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 3x+1=0 și 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 15, b cu 11 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -60 cu 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Adunați 121 cu -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Înmulțiți 2 cu 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±1}{30} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±1}{30} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Se împart ambele părți la 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Împărțirea la 15 anulează înmulțirea cu 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Împărțiți \frac{11}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{30}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{30} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{30} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Adunați -\frac{2}{15} cu \frac{121}{900} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Factorul x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Scădeți \frac{11}{30} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$