Rezolvați 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Descompunere în factori

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 15x^{2}+ax+bx-16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-20 b=12$$

Rescrieți 15x^{2}-8x-16 ca \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Factor 5x în primul și 4 în al doilea grup.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -60 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Adunați 64 cu 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Înmulțiți 2 cu 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±32}{30} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Reduceți fracția \frac{40}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±32}{30} atunci când ± este minus. Scădeți 32 din 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{4}{3} și x_{2} cu -\frac{4}{5}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Scădeți \frac{4}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Adunați \frac{4}{5} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Înmulțiți \frac{3x-4}{3} cu \frac{5x+4}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Înmulțiți 3 cu 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Simplificați cu 15, cel mai mare factor comun din 15 și 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Evaluați

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$