Rezolvați 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 15x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 4.

$$a=-6 b=10$$

Rescrieți 15x^{2}+4x-4 ca \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-2=0 și 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 15, b cu 4 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -60 cu -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Adunați 16 cu 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Înmulțiți 2 cu 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±16}{30} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Reduceți fracția \frac{12}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±16}{30} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Se împart ambele părți la 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Împărțirea la 15 anulează înmulțirea cu 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Împărțiți \frac{4}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{2}{15}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{2}{15} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{2}{15} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Adunați \frac{4}{15} cu \frac{4}{225} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Scădeți \frac{2}{15} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$